Математика - цариця всіх наук. Її улюблениця - істина, її вбрання - простота і ясність. Палац цієї володарки оточено тернистими заростями, і, щоб досягти його, кожному доводиться пробиратися крізь хащі...
Ян. Снядецький
У цьому навчальному модулі будуть розглядатися:
- поняття первісної та невизначеного інтеграла, властивості невизначеного інтеграла, таблиця основних інтегралів;
- основні методи інтегрування: безпосереднє інтегрування, спосіб підстановки; спосіб інтегрування частинами;
- інтегрування раціональних функцій, інтегрування деяких ірраціональних та тригонометричних функцій;
- задача, що приводить до поняття визначеного інтеграла. Означення та умови існування визначеного інтеграла, геометричний зміст визначеного інтеграла, властивості визначеного інтеграла;
- інтеграл зі змінною верхньою межею, формула Ньютона-Лейбніца, методи обчислення визначених інтегралів: метод заміни змінної; інтегрування частинами;
- деякі застосування визначеного інтеграла: обчислення площ, довжини дуг, об'єм тіла.
Ключові слова: первісна, невизначений інтеграл, властивості невизначеного інтеграла, таблиця інтегрування елементарних функцй, способи інтегрування: метод безпосереднього інтегрування, метод підстановки (заміни змінної), метод інтегрування частинами.
Раціональний дріб, елементарні раціональні дроби, метод порівняння коефіцієнтів, метод окремих значень аргументу, інтегрування раціональних, ірраціональних та тригонометричних функці, , підстановки Ейлера, універсальна тригонометрична підстановка, інтегрування диференціальних біномів.
Ключові слова: визначений інтеграл, геометричний зміст визначеного інтеграла, властивості визначеного інтеграла, інтеграл зі змінною верхньою межею, формула Ньютона-Лейбніца,методи обчислення визначених інтегралів: метод заміни змінної, інтегрування частинами, застосування визначеного інтеграла до обчислення площі, довжини дуги, об'єму.
Ключові слова: невласні інтеграли І та ІІ-го роду, збіжний інтеграл, розбіжний інеграл, ознаки збіжності.
У цьому навчальному модулі будуть розглядатися:
- означення функції багатьох змінних, способи задання функції; границя та неперервність функції багатьох змінних;
- частинні та повні прирости функції двох змінних, частинні похідні, повний диференціал функції;
- достатня умова диференційованості функції двох змінних у точці;
- похідна складеної функції, диференціювання неявної функції;
- деякі застосування частинних похідних: дотична площина та нормаль до поверхні, похідна за напрямом, градієнт, локальні екстремуми функції двох змінних, найбільше та найменше значення функції;
- диференціальні рівняння першого порядку, основні поняття і означення, задача Коші;
- диференціальні рівняння з відокремленими та з відокремлюваними змінними, однорідні та лінійні диференціальні рівняння, рівняння Бернуллі, рівняння в повних диференціалах;
- диференціальні рівняння вищих порядків, основні поняття і означення, задача Коші;
- лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами;
- системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Ключові слова: функція багатьох змінних, межа області, відкрита та замкнена область, лінія рівня, границя функцій багатьох змінних, неперервність функцій багатьох змінних.
Ключові слова: повний приріст функції, частинний приріст функції, частинні похідні, мішані похідні, необхідна та достатня умови диференційовності, повний диференціал,інваріантність форми повного диференціала, похідна складеної функції, повна похідна, диференціювання неявної функції, похідні і диференціали вищих порядків, формула Тейлора.
Ключові слова: рівняння дотичної площини, рівняння нормалі, похідна функції за напрямом вектора, градієнт, стаціонарні точки, локальні екстремуми (точки мінімуму та максимуму), найбільше і найменше значення функції в замкнутій області, умовний екстремум.
Ключові слова: диференціальні рівняння, порядок диференціального рівняння, інтегральна крива, задача Коші, початкова умова, загальний розв'язок рівняння, частинний розв'язок, загальний інтеграл рівняння або частинний інтеграл, рівняння з відокремленими змінними, рівняння з відокремлювальними змінними, однорідні рівняння, лінійні диференціальні рівняння першого порядку, рівняння Бернуллі, рівняння в повних диференціалах.
Ключові слова: означення диференціального рівняння п-го порядку, загальний і частиний розв'язки, задача Коші, диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку, лінійні диференціальні рівняння вищих порядків (однорідні і неоднорідні), визначник Вронського, метод варіації довільних сталих, лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами (однорідні, неоднорідні), характеристичне рівняння диференціального рівняння, нормальні системи рівнянь, метод виключення змінної, матричний метод розв'язування систем.